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浅议构建数量经济模型
 

统计与决策2010 年第21 总第321

浅议构建数量经济模型

王重刘黎明

首都经济贸易大学统计学院北京100026

摘要经济问题和社会问题越来越复杂人们开始借助数理模型研究这些问题数理模型能够帮助人们很好的认识社会经济问题文章主要要求模型构建中存在的问题提出模型构建必须以理论为基础论述了设立模型常数项的条件给出了解决自变量存在相关性的方法并且构造检验模型拟合优度的统计量

关键词数理模型常数项残差拟合优度

中图分类号TK730.2O357.5 文献标识码A 文章编号100264872010210162-03

随着经济的快速发展人们为了更客观的认识经济问题深入了解经济运行的内在规律开始借助数理模型从定性和定量两个角度研究经济问题例如研究国民生产总值变化问题时注重观察国民生产总值数量上的变化属于定量研究而研究国民生产总值变量结构变化就属于定性研究定性研究和定量研究是对同一个研究对象从两个角度进行研究本文从定量角度研究模型构建问题

1 回归模型的前提假设

英国著名的生物学家统计学家F.Gallton 早年致力于化学和遗传学领域的研究1889 F. Gallton 和他的朋友K.Pearson 收集了上千个家庭的身高臂长和腿长的记录企图寻找出儿子们的身高与父亲身高之间关系的具体表现形式F.Gallton 在研究这个问题的时候建立一元线性回归模型Y=c+βX 把父辈身高作为自变量儿辈身高作为因变量身高均值作为常数项同时应用最小二乘法估计模型参数现在看来Gallton 在构造模型方面存在许多问题变量选择和一元线性模型的选择都没有说明依据而且Gallton 没有对模型进行检验但是Gallton 采用选取变量构造模型的方式来研究问题却启发了后来研究经济问题的学者后来的学者便开始利用回归模型研究经济问题

线性经典模型经典假设中假设误差项εi~N(0,σ2)εi服从正态分布根据这个假设我们可以推导出y~N(βx,σ2)数理方法构建模型模型的外生变量和内生变量保持恒定模型的残差服从正态分布那么自变量y 服从N(βx,σ2)分布研究实际问题首先需要确定研究对象然后再考虑影响研究对象的因素即自变量根据自变量与研究对象的实际关系构建模型一般把研究对象设定为因变量y影响变量设定为自变量x设构建模型为y=f(x)+εε 为模型真值和估计值的误差

构建经济计量模型前提假设条件经济研究对象因变量y 与自变量x 存在稳定的关系存在稳定的模型关系式y=f(x)模型的前提假设设定为y~N(EY,σ2)EY=f(x)其含义是模型自身具有稳定性在自变量x 设定为固定数值时那么因变量y 的观察值应该是稳定

定理1数理经济经济模型中如果因变量y 与自变量x存在稳定的关系因变量y 服从正态分布那么残差εi也服从正态分布εi~N(0,σ2)

模型假设设定为y~N(f(x),σ2)可以推导出εi~N(0,σ2)设定模型后因变量y 与自变量x 存在稳定的函数关系那么就可以直接利用εi~N(0,σ2)上边的论证可以看出构建模型后在模型稳定的前提下命题1假设误差项εi~N(0,σ2)推导y~N(f(x),σ2)与命题2假设y~N(f(x),σ2)推导εi~N(0,σ2)是互逆逻辑上命题1 和命题2 是在同一假设前提下的两个角度因此可以相互推导

2 模型常数项设定

构建经济计量模型研究实际经济问题经常需要模型设定常数项F.Gallton 在儿子们的身高与父亲身高之间关系的实验中模型设定为Y=C+βXF.Gallton 将身高的均值设定为常数项凯恩斯的消费函数C=C0+ay+ε常数项C0被设定为固定水平的必要消费

经典线性回归模型也经常设定常数项经典线性模型y=β0+β1x+βkx+εβ0为常数项x 为解释变量线性模型中选取的解释变量x y 的影响程度由系数β 反映出来常数项β0是一个恒定值计量经济学中不存在常数项的立体几何含义的解释常数项只存在实际经济含义因此设定模型时不是所有模型都存在常数项常数项必须具有特定含义设定常数项既需有理论支持又要符合实际研究问题的现实情况

常数项设定规则构建计量经济模型研究实际经济问题如果模型因变量y 存在长期稳定趋势因变量存在不受自变量影响的初始值那么构建计量经济模型就需要设定常数项

模型设定常数项需要从实际出发首先根据经验数据和逻辑推导提出因变量存在长期稳定趋势的依据然后建立数理经济模型利用所得数据拟合模型利用计量模型分析经济问题模型设定常数项最经典的模型是凯恩斯的消费函数C=C0+ay+ε常数项C0被设定为固定水平的必要消费凯恩斯消费模型的常数项符合实际情况和经济理论构建经济计量模型必须学习凯恩斯构建模型的思想构建符合实际经济情况的计量经济模型

3 变量相互关系分析和模型构建

研究经济问题构建经济计量模型计量经济模型的形式由因变量y 和选定的自变量x 的函数关系模型设定主要有三种形式

(1)y=A+B+C+ε

(2)y=ABC+ε

(1)y=A+BC+ε

此三种形式中ABC 可以为函数表达式他们可以变化为指数函数幂函数三角函数以及线性函数ABC皆可为mxemx,xm,sinmx+cosnx,其中m 可为实数多项式利用数理模型研究经济问题必须设定模型变量关系为连续函数至少存在局部连续研究实际问题构建计量模型自变量x 为解释变量因变量y 为被解释变量因变量y 与自变量x在经济理论和社会实践中因变量y 受自变量x 影响存在单调性因变量y 随着自变量x 的增加而减少或者随着自变量x 的增加而增加研究实际问题构建模型时因变量y与自变量x 不可能存在周期性关系

模型解析式的构造是以经济理论和试验数据为基础的根据经济理论确定模型自变量和因变量的关系自变量的相互关系最终确定模型的解析式模型构造有三种形式乘式加式加乘混合式

构造加式模型规则构造数理经济模型研究实际经济问题如果自变量之间不存在相关关系自变量不存在相互影响自变量是独立影响因变量那么模型解析式可以设定为y=A+B+C+ε其中ABC 为函数多项式

构造乘式模型规则构造数理经济模型研究实际经济问题如果自变量之间存在相关关系自变量之间存在相互影响同时自变量又影响因变量那么模型解析式可以设定为y=ABC+ε其中ABC 为函数多项式

构造加乘混合式模型规则构造数理经济模型研究实际经济问题如果有的自变量之间存在相关关系有的自变量之间不存在相关关系同时自变量又都影响因变量那么模型解析式可以设定为y=A+BC+ε其中ABC 为函数多项式

实际研究中加式形式的模型和乘式形式的模型得到了广泛的应用研究经济问题也取得了很多成果经典的线性模型就是典型的加式形式经典线性模型y=β0+β1x+βkx+ε经典线性前提假设是所有自变量不相关并且独立影响因变量CD 生产函数是典型的乘式形式CD 生产函数y=KαLβ+ε影响产量的变量为资本和劳动力并且两个自变量也相互影响加乘混合形式的模型是加式形式和乘式形式的综合也可以用来分析实际经济问题

模型的构造形式由模型因变量和自变量的关系决定检验变量之间的相互关系最常用的检验方法为格兰杰因果检验法格兰杰因果检验法在研究实际问题时存在弊端格兰杰因果检验法只能检验时间序列数据时间序列变量进行

格兰杰因果检验之前必须满足两个要求第一要求时间序列变量是平稳序列第二两个变量存在长期的稳定关系格兰杰因果关系检验在设定检验变量的前提是两个变量为线性因果关系这也增加了变量检验的局限性Granger 曾经证明在所有的变量都是平稳的情况下也会出现伪回归变量格兰杰因果检验中的平稳性检验只是变量的存在关系的必要条件综上所述构造模型需要细致分析研究问题的实际情况明确变量之间的相互关系最后确定模型解析式

4 模型检验问题

模型检验是构建模型过程中重要的一环经典的计量经济学中的主要推断方法是进行假设检验和构造检验统计量在模型检验的过程中模型假设的提出和检验统计量的构造都是以数理统计知识为基础进行的在经典的假设检验中必须对模型的进行参数检验检验模型总体显著性回归拟合度评价统计量R2

参数检验统计量t统计量和模型总体显著性检验统计量F

回归拟合度评价统计量R2 R明存在问题Anscombe 1973 年给出了四组著名数据证明了R2 R不能充分检验回归模型拟合情况

表中数据分为四组G1(x1y1,)G2(x1y2,)G3(x1y3,)G4(x2,y4,)利用四组数据构造一元线性回归模型设定模型y=β0+β1x+ε

利用最小二乘法计算得到模型参数和模型的主要统计量

从表2 可以看出数据组G1G2G3 的模型参数估计值和模型的拟合优度检验统计量基本一致β0=3β1=5R2=0.7

拟合优度检验统计量的值不是很高但不能忽视本身存在的问题四组数据拟合模型我们得到相似的回归方程但数据却存在很大差别

如图1 所示模型y=3+0.5x 对于数据组G1 G3 的拟合优度检验统计量为0.7拟合效果也比较好但是对于数据组G2拟合优度检验统计量也是0.7拟合效果就要差很多因此单独利用R2 检验模型的拟合优度不是十分妥当

拟合优度检验统计量R2 不能够很好检验模型的拟合情况这与统计量R2 的自身构造有关获得自变量Y 数值的方式不同Y就具有不同的含义自变量Y 数据来源有两种方式第一类是通过可重复物理实验获得的数据例如在常温常压状态下某工厂测量合金A的抗压强度对合金A 施加100000 牛冲击力实验3 万次测算合金A 的强度研究对象为合金A 的抗压强度构造模型

数据组

G1

G2

G3

G4

β0

3.117545

3.000909

3.011909

3.355358

β1

0.479364

0.5

0.498273

0.453324

R2

0.688323

0.666242

0.669232

0.607462

y=p×s+ε利用数理方法估计合金A 的抗压强度重复实验得到数据能够保证实验条件的稳定性把外界的干扰控制到最低实验中能够精确的控制每一个影响研究对象的变量精确的控制温度压强冲击力此时的Y就是试验观测数值得均值并且与每一个Y 十分接近此时R2 作为检验模型的拟合程度不是很合适第二类是不可重复性试验的时间序列数据研究实际经济问题一般采用大量无法重复的时间序列数据例如为了研究某地区的消费问题根据统计资料得到1981 年到2002 年该地区人均收入人均储蓄和人均消费数据通过对数据整理分析估算人均收入人均储蓄对人均消费的影响程度本题研究对象为人均消费数据为纵向年度人均收入人均储蓄的值利用这些数据构建模型研究人均收入人均储蓄与人均消费的关系构建面板数据模型存在n 个自变量研究面板数据自变量与因变量的关系面板数据收集时n 个自变量与因变量同时变化这时Y就变成自变量Y 的算术平均值并不能保证Y与每一个Y 十分接近那么借助R2 与对R2 模型进行拟合的检验就可能出现Anscombe 所提出的问题

检验模型的拟合优度可构建新的统计量, 拟合优度检验的统计量可以设定为模型的拟合优度检验是检验模型的拟合程度检验拟合优度统计量应该充分反映模型的拟合水平残差是检验模型的拟合程度的最佳选择使用残差必须消除残差的量纲影响统计量αi消除量纲影响残差表示估计值与真实值之间的差别残差除以真实值表示残差占真实值的比率模型因变量与自变量关系稳定确定模型变量之间的函数关系yi服从正态分布模型因变量服从正态分布不可采用拟合优度X2 统计量检验模型拟合优度估计模型函数关系确定后构造模型的拟合优度检验X2因此X2 统计量无法作为模型的拟合优度检验统计量模型总体检验使用F 统计量F 统计量构造中含有R2R2 检验拟合优度存在不足那么使用F 统计量检验模型的拟合优度也是存在问题的因此使用统计量β 检验模型拟合优度是可行

如果模型每一个ai都是小于0.95那么可以认定模型拟合效果好在上例中数据组G3 的统计量R2 受异常点的影响R2 值不理想但模型的拟合程度还是很高的统计量β由所有因变量的残差与真实值比值绝对值的平均数表示模型总体的拟合情况数据组G1(x1,y1)G2(x1,y2)G3(x1,y3)G4(x2,y4)的检验结果见表3

从检验结果来看四组数据中G3(x1,y3)的拟合检验值最小统计量β=0.07如果假设β<0.1 就可以接受模型那么就可利用模型对数据G3(x1,y3)进行经济分析数据组G1(x1,y1)G2(x1,y2)G4(x2,y4)的模型需要进行修正仅当G1G2G3 的模型拟合检验统计量β1<0.1才可借助模型进行经济分析

定理2模型因变量与自变量关系稳定确定模型变量之间的函数关系yi

服从正态分布不可采用统计量X2 检验模型拟合优度模型总体检验使用F 统计量F 统计量构造中含有R2R2 检验拟合优度存在不足那么使用F 统计量检验模型的拟合优度也是存在问题的采用统计量β 检验模型拟合优度从模型本身出发可以准确的辨别模型的拟合情况根据精度要求取舍修正模型得到拟合数据的最佳模型分析经济问题

5 结论

构建数理模型研究实际问题首先要对数据来源进行甄别明确数据是来源于内生变量和外生变量固定的可重复实验数据还是来源于不可重复实验的时间纵向数据对于时间纵向数据构建模型必须注意变量的选取而且内生变量表4 各模型拟合检验统计量表

和外生变量在研究对象的统计时期内保持恒定模型的残差是检验模型的重要信息检验模型的拟合程度时需要使用统计量α β计量模型构建的基础是经济学理论设定模型的常数项和变量关系都要以经济理论为基础这是构建经济计量模型的关键

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基金项目国家自然科学基金资助项目50579101

作者简介陈中柘1968-),四川成都人___________博士研究生研究方向管理科学与工程

 

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